Trang Chính
![[Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky Th_2410](https://i.servimg.com/u/f56/18/75/52/97/th_2410.gif)
Postado 11/8/2014, 20:54
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
- Phát biểu: Cho n số không âm. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó.
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$
- Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Chứng minh được mệnh đề đúng với n=2.
Giả sử bđt trên đúng với n=k (tức $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$)
Giả sử $a_1 \le a_2 \le ... \le a_{k} \le a_{k+1}$ $\Rightarrow$ $a^{k+1} \ge \dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$
Đặt $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x (x \ge 0) \Rightarrow a_{k+1}=x+y (y \ge 0)$ và $x^k \ge a_1a_2...a_k$
Ta có: $(\dfrac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1})^{k+1} = (\dfrac{kx+x+y}{k+1})^{k+1} = (x+\dfrac{y}{k+1})^{k+1} \ge x^{k+1}+(k+1).(\dfrac{y}{k+1}).x^k = x^{k+1}+x^k.y = x^k.(x+y) = a_1a_2...a_ka_{k+1}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3...a_{k+1}}$
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n$\ge$2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz)
- Phát biểu: Cho 2 bộ n số ($a_1,a_2,...,a_n$) và ($b_1,b_2,...,b_n$). Như vậy: ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
-Chứng minh: Sử dụng bđt đã biết và đặt ẩn phụ.
Đặt A=$a_1^2+a_2^2+...a_n^2$, B=$b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$, C=$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$.
Nếu A=0, B=0 thì bđt hiển nhiên đúng.
Xét A,B $\not=$ 0. Với mọi x $\in$ R, ta có:
$a_1^2x^2-2a_1b_1+b_1^2 = (a_1x-b_1)^2 \ge 0$
$a_2^2x^2-2a_2b_2+b_2^2 = (a_2x-b_2)^2 \ge 0$
................
$a_n^2x^2-2a_nb_n+b_n^2 = (a_nx-b_n)^2 \ge 0$
$\Rightarrow$ ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)$x^2$ - $2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x$ + ($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ 0
$\Leftrightarrow$ $Ax^2-2Cx+B \ge 0$
Thay x = $\dfrac{C}{A}$, ta có: $A.\dfrac{C^2}{A^2}-2.\dfrac{C^2}{A}+B \ge$ 0 $\Leftrightarrow$ $-C^2+AB \ge$ 0 (do A > 0)
$\Leftrightarrow$ $AB \ge C^2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{1}{x}$ và quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.
Hệ quả của bđt Bunyakovsky:
1/ AM-HM: Cho n số dương. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình điều hoà của n số đó. Đẳng thức xảy ra khi n số đó bằng nhau.
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}$
2/ Bunyakovsky dạng phân thức:
Cho 2 bộ số $(a_1,a_2,...,a_n)$ không âm và $(b_1,b_2,...,b_n)$ dương.
Ta có:
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+...+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$
- Phát biểu: Cho n số không âm. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó.
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$
- Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Chứng minh được mệnh đề đúng với n=2.
Giả sử bđt trên đúng với n=k (tức $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$)
Giả sử $a_1 \le a_2 \le ... \le a_{k} \le a_{k+1}$ $\Rightarrow$ $a^{k+1} \ge \dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$
Đặt $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x (x \ge 0) \Rightarrow a_{k+1}=x+y (y \ge 0)$ và $x^k \ge a_1a_2...a_k$
Ta có: $(\dfrac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1})^{k+1} = (\dfrac{kx+x+y}{k+1})^{k+1} = (x+\dfrac{y}{k+1})^{k+1} \ge x^{k+1}+(k+1).(\dfrac{y}{k+1}).x^k = x^{k+1}+x^k.y = x^k.(x+y) = a_1a_2...a_ka_{k+1}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3...a_{k+1}}$
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n$\ge$2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz)
- Phát biểu: Cho 2 bộ n số ($a_1,a_2,...,a_n$) và ($b_1,b_2,...,b_n$). Như vậy: ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
-Chứng minh: Sử dụng bđt đã biết và đặt ẩn phụ.
Đặt A=$a_1^2+a_2^2+...a_n^2$, B=$b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$, C=$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$.
Nếu A=0, B=0 thì bđt hiển nhiên đúng.
Xét A,B $\not=$ 0. Với mọi x $\in$ R, ta có:
$a_1^2x^2-2a_1b_1+b_1^2 = (a_1x-b_1)^2 \ge 0$
$a_2^2x^2-2a_2b_2+b_2^2 = (a_2x-b_2)^2 \ge 0$
................
$a_n^2x^2-2a_nb_n+b_n^2 = (a_nx-b_n)^2 \ge 0$
$\Rightarrow$ ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)$x^2$ - $2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x$ + ($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ 0
$\Leftrightarrow$ $Ax^2-2Cx+B \ge 0$
Thay x = $\dfrac{C}{A}$, ta có: $A.\dfrac{C^2}{A^2}-2.\dfrac{C^2}{A}+B \ge$ 0 $\Leftrightarrow$ $-C^2+AB \ge$ 0 (do A > 0)
$\Leftrightarrow$ $AB \ge C^2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{1}{x}$ và quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.
Hệ quả của bđt Bunyakovsky:
1/ AM-HM: Cho n số dương. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình điều hoà của n số đó. Đẳng thức xảy ra khi n số đó bằng nhau.
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}$
2/ Bunyakovsky dạng phân thức:
Cho 2 bộ số $(a_1,a_2,...,a_n)$ không âm và $(b_1,b_2,...,b_n)$ dương.
Ta có:
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+...+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$
