Diễn đàn Học tốt - HTFM
Chào mừng bạn đến với hoctot.forumvi.com - DIỄN ĐÀN HỌC TỐT
DIỄN ĐÀN HỌC TỐT thành lập với mục đích tạo một môi trường học tập để các bạn học sinh trung học  cùng nhau thảo luận, giải bài tập, tiếp thu kiến thức và học hỏi kinh nghiệm.
Rất mong các bạn tham gia và ủng hộ diễn đàn ngày càng sôi nổi hơn!
Bạn có thể  ĐĂNG NHẬP hoặc ĐĂNG KÝ TÀI KHOẢN  để tham gia học tập với chúng tôi nhé!
Xin cảm ơn!
Diễn đàn Học tốt - HTFM

DIỄN ĐÀN HỌC TỐT thành lập với mục đích tạo một môi trường học tập để các bạn học sinh trung học cùng nhau thảo luận, giải bài tập, tiếp thu kiến thức và học hỏi kinh nghiệm.


You are not connected. Please login or register

Diễn đàn Học tốt - HTFM » KHU VỰC HỌC TẬP » TOÁN HỌC » Lớp 9 »  [Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]

#1
 kien2000


Trial Mod
Trial Mod
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
- Phát biểu: Cho n số không âm. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó. 
 $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$


- Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.


 Chứng minh được mệnh đề đúng với n=2.
 Giả sử bđt trên đúng với n=k (tức $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$)


 Giả sử $a_1 \le a_2 \le ... \le a_{k} \le a_{k+1}$ $\Rightarrow$ $a^{k+1} \ge \dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$


 Đặt $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x (x \ge 0) \Rightarrow a_{k+1}=x+y (y \ge 0)$ và $x^k \ge a_1a_2...a_k$


 Ta có: $(\dfrac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1})^{k+1} = (\dfrac{kx+x+y}{k+1})^{k+1} = (x+\dfrac{y}{k+1})^{k+1} \ge x^{k+1}+(k+1).(\dfrac{y}{k+1}).x^k = x^{k+1}+x^k.y = x^k.(x+y) = a_1a_2...a_ka_{k+1}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3...a_{k+1}}$


Suy ra mệnh đề đúng với mọi n$\ge$2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$


2. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz)
- Phát biểu: Cho 2 bộ n số ($a_1,a_2,...,a_n$) và ($b_1,b_2,...,b_n$). Như vậy: ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$


-Chứng minh: Sử dụng bđt đã biết và đặt ẩn phụ.
 Đặt A=$a_1^2+a_2^2+...a_n^2$, B=$b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$, C=$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$.
 Nếu A=0, B=0 thì bđt hiển nhiên đúng.
 Xét A,B $\not=$ 0. Với mọi x $\in$ R, ta có:
 $a_1^2x^2-2a_1b_1+b_1^2 = (a_1x-b_1)^2 \ge 0$
 $a_2^2x^2-2a_2b_2+b_2^2 = (a_2x-b_2)^2 \ge 0$
................
 $a_n^2x^2-2a_nb_n+b_n^2 = (a_nx-b_n)^2 \ge 0$


 $\Rightarrow$ ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)$x^2$ - $2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x$ + ($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ 0
 
$\Leftrightarrow$ $Ax^2-2Cx+B \ge 0$


 Thay x = $\dfrac{C}{A}$, ta có: $A.\dfrac{C^2}{A^2}-2.\dfrac{C^2}{A}+B \ge$ 0 $\Leftrightarrow$ $-C^2+AB \ge$ 0 (do A > 0) 


$\Leftrightarrow$ $AB \ge C^2$ (đpcm)


 Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{1}{x}$ và quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.


Hệ quả của bđt Bunyakovsky:
1/ AM-HM: Cho n số dương. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình điều hoà của n số đó. Đẳng thức xảy ra khi n số đó bằng nhau.
   $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}$


2/ Bunyakovsky dạng phân thức: 
Cho 2 bộ số $(a_1,a_2,...,a_n)$ không âm và $(b_1,b_2,...,b_n)$ dương. 


Ta có:
   $\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+...+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$
   
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$

Xem lý lịch thành viên

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]


Permissions in this forum:
Bạn không có quyền trả lời bài viết